ଏହି ବିଭାଗଟି ମୁଖ୍ୟତଃ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍, ପରିପୂରକ ସେଟ୍, ଡି-ମର୍ଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ ଏବଂ ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ଉପରେ ଆଧାରିତ ।

📘 ୧. ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ (Universal Set)

👉 କୌଣସି ଆଲୋଚନା ପରିସର ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ସେଟ୍ ଯଦି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତର ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍ ହୋଇଥାନ୍ତି, ତେବେ ସେହି ବୃହତ୍ତର ସେଟ୍‌କୁ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ ।

👉 ଏହାକୁ ସାଧାରଣତଃ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର $E$ (କିମ୍ବା କେତେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $U$) ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।

👉 ଉଦାହରଣ: ଯଦି ଆମେ ଓଡ଼ିଶାର ବିଭିନ୍ନ ଜିଲ୍ଲା ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରୁଛେ, ତେବେ "ଓଡ଼ିଶାର ସମସ୍ତ ଜିଲ୍ଲା ମାନଙ୍କର ସେଟ୍" ହେବ ଆମର ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ $E$ ।

📘 ୨. ପରିପୂରକ ସେଟ୍ (Complement of a Set)

👉 ଯଦି $E$ ଏକ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଏବଂ $A$ ତାହାର ଏକ ଉପସେଟ୍ ଅଟେ ($A \subset E$), ତେବେ $A$ ସେଟ୍‌ରେ ନଥିବା କିନ୍ତୁ $E$ ସେଟ୍‌ରେ ଥିବା ଅବଶିଷ୍ଟ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍‌କୁ $A$ ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ ।

👉 ଏହାକୁ $A'$ (ଏ-ଡ୍ୟାସ୍) କିମ୍ବା $A^c$ ଦ୍ୱାରା ଲେଖାଯାଏ ।

👉 ସୂତ୍ର: $A' = E - A$

👉 ସେଟ୍ ଗଠନ ପ୍ରଣାଳୀରେ: $A' = \{x | x \in E \text{ ଏବଂ } x \notin A\}$

📘 ୩. ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧର୍ମ (Properties of Complement of a Set) ଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଆବଶ୍ୟକ:

1. $A \cup A' = E$ (ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌କୁ ମିଶାଇଲେ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ମିଳେ)
2. $A \cap A' = \phi$ (ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ନଥାଏ)
3. $(A')' = A$ (ଏକ ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ପୁନର୍ବାର ପରିପୂରକ ବାହାର କରେ, ମୂଳ ସେଟ୍ ମିଳିଥାଏ)
4. $E' = \phi$ (ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ର ପରିପୂରକ ହେଉଛି ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍)
5. $\phi' = E$ (ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍‌ର ପରିପୂରକ ହେଉଛି ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍)

📘 ୪. ଡି-ମର୍ଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ (De Morgan's Laws) 🌟 ବ୍ରିଟିଶ୍ ଗଣିତଜ୍ଞ ଅଗଷ୍ଟସ୍ ଡି-ମର୍ଗାନ୍ (Augustus De Morgan) ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ପାଇଁ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ନିୟମ ବାହାର କରିଥିଲେ, ଯାହାକୁ ତାଙ୍କ ନାମ ଅନୁସାରେ ଡି-ମର୍ଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ କୁହାଯାଏ । ଯଦି $A$ ଏବଂ $B$ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ $E$ ର ଦୁଇଟି ଉପସେଟ୍ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ:

• ପ୍ରଥମ ନିୟମ: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ (ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର ସଂଯୋଗର ପରିପୂରକ ସେଟ୍, ସେମାନଙ୍କର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କର ଛେଦ ସହ ସମାନ)
• ଦ୍ଵିତୀୟ ନିୟମ: $(A \cap B)' = A' \cup B'$ (ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର ଛେଦର ପରିପୂରକ ସେଟ୍, ସେମାନଙ୍କର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କର ସଂଯୋଗ ସହ ସମାନ)

📘 ୫. ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର (Symmetric Difference) 👉 ଦୁଇଟି ସେଟ୍ $A$ ଏବଂ $B$ ର ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତରକୁ $A \Delta B$ (A ଡେଲ୍‌ଟା B) ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ । 👉 ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଲା, ସେହି ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଯାହା କେବଳ $A$ ରେ ଅଛି କିମ୍ବା କେବଳ $B$ ରେ ଅଛି, କିନ୍ତୁ ଉଭୟଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ (ସାଧାରଣ) ନାହିଁ । 👉 ମୁଖ୍ୟ ସୂତ୍ର:

1. $A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$
2. $A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)$
3. 👉 ଧର୍ମ: ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ଅର୍ଥାତ୍ $A \Delta B = B \Delta A$ ।

ଏହି ବିଭାଗଟି ମୁଖ୍ୟତଃ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍, ପରିପୂରକ ସେଟ୍, ଡି-ମର୍ଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ ଏବଂ ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ଉପରେ ଆଧାରିତ ।

📘 ୧. ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ (Universal Set)

👉 କୌଣସି ଆଲୋଚନା ପରିସର ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ସେଟ୍ ଯଦି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବୃହତ୍ତର ସେଟ୍‌ର ଉପସେଟ୍ ହୋଇଥାନ୍ତି, ତେବେ ସେହି ବୃହତ୍ତର ସେଟ୍‌କୁ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ ।

👉 ଏହାକୁ ସାଧାରଣତଃ ଇଂରାଜୀ ଅକ୍ଷର $E$ (କିମ୍ବା କେତେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ $U$) ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ ।

👉 ଉଦାହରଣ: ଯଦି ଆମେ ଓଡ଼ିଶାର ବିଭିନ୍ନ ଜିଲ୍ଲା ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରୁଛେ, ତେବେ "ଓଡ଼ିଶାର ସମସ୍ତ ଜିଲ୍ଲା ମାନଙ୍କର ସେଟ୍" ହେବ ଆମର ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ $E$ ।

📘 ୨. ପରିପୂରକ ସେଟ୍ (Complement of a Set)

👉 ଯଦି $E$ ଏକ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ଏବଂ $A$ ତାହାର ଏକ ଉପସେଟ୍ ଅଟେ ($A \subset E$), ତେବେ $A$ ସେଟ୍‌ରେ ନଥିବା କିନ୍ତୁ $E$ ସେଟ୍‌ରେ ଥିବା ଅବଶିଷ୍ଟ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ ସେଟ୍‌କୁ $A$ ର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ ।

👉 ଏହାକୁ $A'$ (ଏ-ଡ୍ୟାସ୍) କିମ୍ବା $A^c$ ଦ୍ୱାରା ଲେଖାଯାଏ ।

👉 ସୂତ୍ର: $A' = E - A$

👉 ସେଟ୍ ଗଠନ ପ୍ରଣାଳୀରେ: $A' = \{x | x \in E \text{ ଏବଂ } x \notin A\}$

📘 ୩. ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧର୍ମ (Properties of Complement of a Set) ଗଣିତ ପ୍ରଶ୍ନ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଆବଶ୍ୟକ:

1. $A \cup A' = E$ (ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌କୁ ମିଶାଇଲେ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ ମିଳେ)
2. $A \cap A' = \phi$ (ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ ତାର ପରିପୂରକ ସେଟ୍ ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ ନଥାଏ)
3. $(A')' = A$ (ଏକ ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ର ପୁନର୍ବାର ପରିପୂରକ ବାହାର କରେ, ମୂଳ ସେଟ୍ ମିଳିଥାଏ)
4. $E' = \phi$ (ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍‌ର ପରିପୂରକ ହେଉଛି ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍)
5. $\phi' = E$ (ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍‌ର ପରିପୂରକ ହେଉଛି ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍)

📘 ୪. ଡି-ମର୍ଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ (De Morgan's Laws) 🌟 ବ୍ରିଟିଶ୍ ଗଣିତଜ୍ଞ ଅଗଷ୍ଟସ୍ ଡି-ମର୍ଗାନ୍ (Augustus De Morgan) ସେଟ୍ ପ୍ରକ୍ରିୟା ପାଇଁ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ନିୟମ ବାହାର କରିଥିଲେ, ଯାହାକୁ ତାଙ୍କ ନାମ ଅନୁସାରେ ଡି-ମର୍ଗାନ୍‌ଙ୍କ ନିୟମ କୁହାଯାଏ । ଯଦି $A$ ଏବଂ $B$ ବ୍ୟାପକ ସେଟ୍ $E$ ର ଦୁଇଟି ଉପସେଟ୍ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ:

• ପ୍ରଥମ ନିୟମ: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ (ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର ସଂଯୋଗର ପରିପୂରକ ସେଟ୍, ସେମାନଙ୍କର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କର ଛେଦ ସହ ସମାନ)
• ଦ୍ଵିତୀୟ ନିୟମ: $(A \cap B)' = A' \cup B'$ (ଦୁଇଟି ସେଟ୍‌ର ଛେଦର ପରିପୂରକ ସେଟ୍, ସେମାନଙ୍କର ପରିପୂରକ ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କର ସଂଯୋଗ ସହ ସମାନ)

📘 ୫. ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର (Symmetric Difference) 👉 ଦୁଇଟି ସେଟ୍ $A$ ଏବଂ $B$ ର ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତରକୁ $A \Delta B$ (A ଡେଲ୍‌ଟା B) ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ । 👉 ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଲା, ସେହି ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଯାହା କେବଳ $A$ ରେ ଅଛି କିମ୍ବା କେବଳ $B$ ରେ ଅଛି, କିନ୍ତୁ ଉଭୟଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ (ସାଧାରଣ) ନାହିଁ । 👉 ମୁଖ୍ୟ ସୂତ୍ର:

1. $A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$
2. $A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)$
3. 👉 ଧର୍ମ: ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର କ୍ରମବିନିମୟୀ ନିୟମ ପାଳନ କରେ ଅର୍ଥାତ୍ $A \Delta B = B \Delta A$ ।