❓ ୧ ବନ୍ଧନୀରୁ ଠିକ୍ ଚିହ୍ନ ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର 

(i) a ... {a,b,c} $[\in, \notin, \subset, =]$

(ii) d ... {a,b,c} $[\in, \notin, \subset, =]$

(iii) {a,c,b} ... {a,b,c} $[\in, \notin, =, \neq]$

(iv) {a,a,b,c} ... {a,b,c} $[\in, \notin, =, \neq]$

(v) {a} ... {a, b, c} $[=, \subset, \in, \supset]$

(vi) {a,b,c} ... {a} $[=, \subset, \in, \neq]$

✅ ଉତ୍ତର: (i) $a \in \{a, b, c\}$
(ii) $d \notin \{a, b, c\}$
(iii) $\{a, c, b\} = \{a, b, c\}$
(iv) $\{a, a, b, c\} = \{a, b, c\}$
(v) $\{a\} \subset \{a, b, c\}$
(vi) $\{a, b, c\} \neq \{a\}$

❓ ୨ $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4,5\}$ ଓ $C=\{5,6\}$ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର 

(i) $B \cup C$ (ii) $A \cup B$

(iii) $A \cup C$ (iv) $B \cap C$

(v) $A \cap B$ (vi) $A \cap C$

(vii) $B - C$ (viii) $A - B$

(ix) $A - C$ (x) $C - B$ (xi) $B - A$ (xii) $C - A$

✅ ଉତ୍ତର: (i) $B \cup C = \{3, 4, 5, 6\}$
(ii) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
(iii) $A \cup C = \{1, 2, 3, 5, 6\}$
(iv) $B \cap C = \{5\}$
(v) $A \cap B = \{3\}$
(vi) $A \cap C = \phi$
(vii) $B - C = \{3, 4\}$
(viii) $A - B = \{1, 2\}$
(ix) $A - C = \{1, 2, 3\}$
(x) $C - B = \{6\}$
(xi) $B - A = \{4, 5\}$
(xii) $C - A = \{5, 6\}$

❓ ୩ $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{4,5,6,7\}$ ଓ $C=\{6,7,8,9\}$ ହେଲେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ପରୀକ୍ଷା କର 

(i) $A \cup B = B \cup A$ (ii) $B \cap C = C \cap B$

(iii) $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$

(iv) $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$

(v) $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

(vi) $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

(vii) $A - B \neq B - A$

(viii) $(A - B) - C \neq A - (B - C)$

✅ ଉତ୍ତର: (i) $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ ଏବଂ $B \cup A = \{1,2,3,4,5,6,7\}$  ତେଣୁ ଏହା ସମାନ
(ii) $B \cap C = \{6, 7\}$ ଏବଂ $C \cap B = \{6, 7\}$ ତେଣୁ ଏହା ସମାନ
(iii) $(A \cup B) \cup C = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ଏବଂ $A \cup (B \cup C) = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$  ତେଣୁ ଏହା ସମାନ
(iv) $(A \cap B) \cap C = \phi$ ଏବଂ $A \cap (B \cap C) = \phi$  ତେଣୁ ଏହା ସମାନ
(v) $A \cup (B \cap C) = \{1,2,3,4,6,7\}$ ଏବଂ $(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{1,2,3,4,6,7\}$  ତେଣୁ ଏହା ସମାନ ଏବଂ ବଣ୍ଟନ ନିୟମ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା
(vi) $A \cap (B \cup C) = \{4\}$ ଏବଂ $(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{4\}$  ତେଣୁ ଏହା ସମାନ
(vii) $A - B = \{1, 2, 3\}$ ଏବଂ $B - A = \{5, 6, 7\}$  ତେଣୁ $A - B \neq B - A$ ଏହା ପ୍ରମାଣିତ
(viii) $(A - B) - C = \{1, 2, 3\}$ ଏବଂ $A - (B - C) = \{1, 2, 3\}$  ଏହି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମାନ ହେଉଛି କିନ୍ତୁ ସର୍ବଦା ସମାନ ହୁଏ ନାହିଁ

---

(i) {x | x² − 1 = 0}

ସେଟ୍‌ଟି ନିମ୍ନରୁ କାହା ସହ ସମାନ ?
[ φ, {1}, {-1}, {1,-1}, {0,1} ]

✅ ଉତ୍ତର: {1,-1}

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା:
x² − 1 = 0 ⇒ x² = 1
⇒ x = 1 କିମ୍ବା -1
ସେହିପରି ସେଟ୍ = {1,-1}

---

(ii) {x | x ସଂଖ୍ୟାଟି 6 ଅପେକ୍ଷା କ୍ଷୁଦ୍ରତର ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା}

ସେଟ୍‌ଟି ନିମ୍ନରୁ କାହା ସହ ସମାନ ?
[ φ, {1,2,3,4,5}, {2,4}, {1,3,5} ]

✅ ଉତ୍ତର: {2,4}

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା:
ଯୁଗ୍ମ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା ହେଲା: 2, 4, 6, 8, ...
6 ଠାରୁ କମ୍ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେଲା: 2 ଓ 4
ସେହିପରି ସେଟ୍ = {2,4}

---

(iii) {x | x ∈ N ଓ 2 < x < 4 ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା}

ସେଟ୍‌ଟି ନିମ୍ନରୁ କାହା ସହ ସମାନ ?
[ φ, {2}, {4}, {2,4} ]

✅ ଉତ୍ତର: φ

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା:
2 ଓ 4 ମଧ୍ୟରେ କୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ
ସେହିପରି ସେଟ୍ = φ (ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍)

---

(iv) {x | x ∈ N* , x ≤ 3}

ସେଟ୍‌ଟି ନିମ୍ନରୁ କାହା ସହ ସମାନ ?
[ {0,1,2}, {0,3}, {1,2}, {0,1,2,3} ]

✅ ଉତ୍ତର: {0,1,2,3}

💡 ବ୍ୟାଖ୍ୟା:
N* = {0,1,2,3,...}
x ≤ 3 ⇒ {0,1,2,3}

---

❓ ୫. $A=\{a,b,d,e,p\}$ ଓ $B=\{b,p,a,n,m,x,y\}$, $C=\{n,x,z,s,t\}$ ହେଲେ

(i) $(A-B)\cup(A\cap B)$

(ii) $(A\cup B)\cap(B\cup C)$

(iii) $(A\cap B)\cup(B-C)$ ସେଟ୍‌ମାନଙ୍କୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଏଠାରେ $A-B = \{d, e\}$ ଏବଂ $A\cap B = \{a, b, p\}$
(i) $(A-B)\cup(A\cap B) = \{d, e\} \cup \{a, b, p\} = \{a, b, d, e, p\}$ ଯାହାକି ସେଟ୍ $A$ ସହ ସମାନ ଅଟେ ଏଠାରେ $A\cup B = \{a, b, d, e, p, n, m, x, y\}$ ଏବଂ $B\cup C = \{b, p, a, n, m, x, y, z, s, t\}$
(ii) $(A\cup B)\cap(B\cup C) = \{a, b, p, n, m, x, y\}$ ଯାହାକି ସେଟ୍ $B$ ସହ ସମାନ ଅଟେ ଏଠାରେ $A\cap B = \{a, b, p\}$ ଏବଂ $B-C = \{b, p, a, m, y\}$
(iii) $(A\cap B)\cup(B-C) = \{a, b, p\} \cup \{b, p, a, m, y\} = \{a, b, p, m, y\}$

❓ ୬. $A=\{a,b,c,d,e\}$ ଓ $B=\{a,e,i,o,u\}$ ହେଲେ ପ୍ରମାଣ କର ଯେ

(i) $(A-B)\cap(A\cap B)=\phi$, $(B-A)\cap(A\cap B)=\phi$ ଏବଂ

(ii) $(A-B)\cap(B-A)=\phi$ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ସେଟ୍ ଅନୁଯାୟୀ $A-B = \{b, c, d\}$
$B-A = \{i, o, u\}$
$A\cap B = \{a, e\}$

(i) ପ୍ରମାଣ $(A-B)\cap(A\cap B) = \{b, c, d\} \cap \{a, e\} = \phi$
ସେହିପରି $(B-A)\cap(A\cap B) = \{i, o, u\} \cap \{a, e\} = \phi$

(ii) ପ୍ରମାଣ $(A-B)\cap(B-A) = \{b, c, d\} \cap \{i, o, u\} = \phi$
ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା ଯେ ଅନ୍ତର ସେଟ୍ ଏବଂ ଛେଦ ସେଟ୍ ପରସ୍ପର ଅଣଚ୍ଛେଦୀ ଅଟନ୍ତି

❓ ୭. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକର ଭେନ୍‌ ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କର ।

(i) $(A\cup B)-(A\cap B)$

(ii) $(A\cap B)\cup(A-B)$

(iii) $(A\cap B)\cup(B-A)$

✅ ଉତ୍ତର: (i) $(A\cup B)-(A\cap B)$ ହେଉଛି $A \Delta B$ ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର ସେଟ୍
ଏହାର ଭେନ୍ ଚିତ୍ରରେ କେବଳ ସାଧାରଣ ଅଂଶ ଛେଦ କୁ ଛାଡି $A$ ଏବଂ $B$ ର ବାକି ସମସ୍ତ ଅଂଶକୁ ଛାୟାବୃତ୍ତ କରାଯିବ
(ii) $(A\cap B)\cup(A-B)$ ବାସ୍ତବରେ ସେଟ୍ $A$ ସହ ସମାନ
ଏହାର ଭେନ୍ ଚିତ୍ରରେ କେବଳ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ $A$ ସେଟ୍‌କୁ ଛାୟାବୃତ୍ତ କରାଯିବ
(iii) $(A\cap B)\cup(B-A)$ ବାସ୍ତବରେ ସେଟ୍ $B$ ସହ ସମାନ
ଏହାର ଭେନ୍ ଚିତ୍ରରେ କେବଳ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ $B$ ସେଟ୍‌କୁ ଛାୟାବୃତ୍ତ କରାଯିବ

💡 ସୂତ୍ର: ସମଞ୍ଜସ ଅନ୍ତର $A \Delta B = (A-B) \cup (B-A) = (A \cup B) - (A \cap B)$

❓ ୮. ଏକ ଉଦାହରଣ ନେଇ ଦର୍ଶାଅ ଯେ $(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$ (ଯେଉଁଠାରେ A ଓ B ପ୍ରତ୍ୟେକ ସସୀମ ସେଟ୍) ।

✅ ଉତ୍ତର: ମନେକର ଦୁଇଟି ସସୀମ ସେଟ୍ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ଏବଂ $B = \{3, 4, 5, 6\}$
ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ $A-B = \{1, 2\}$
$B-A = \{5, 6\}$
$(A-B)\cup(B-A) = \{1, 2\} \cup \{5, 6\} = \{1, 2, 5, 6\}$

ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ପାଇଁ $A\cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
$A\cap B = \{3, 4\}$
$(A\cup B)-(A\cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{3, 4\} = \{1, 2, 5, 6\}$

ଯେହେତୁ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ ଏବଂ ଦକ୍ଷିଣ ପାର୍ଶ୍ୱ ସମାନ ତେଣୁ $(A-B)\cup(B-A)=(A\cup B)-(A\cap B)$ ପ୍ରମାଣିତ ହେଲା

❓ ୯. ଯଦି $I_{n} = \{1,2,3,4, ..., n\}$ ହୁଏ ତେବେ $I_{20} - I_{16}$ ଏବଂ $I_{16} - I_{20}$ ସେଟ୍ ଦ୍ଵୟକୁ ତାଲିକା ପ୍ରଣାଳୀରେ ଲେଖ ।

✅ ଉତ୍ତର: ଦତ୍ତ ପ୍ରଶ୍ନ ଅନୁସାରେ $I_{20}$ ହେଉଛି ୧ ରୁ ୨୦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $I_{16}$ ହେଉଛି ୧ ରୁ ୧୬ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା

$I_{20} - I_{16}$ ସେଟ୍‌ରେ ସେହି ଉପାଦାନ ରହିବେ ଯାହା $I_{20}$ ରେ ଅଛି କିନ୍ତୁ $I_{16}$ ରେ ନାହିଁ
ତେଣୁ $I_{20} - I_{16} = \{17, 18, 19, 20\}$

$I_{16} - I_{20}$ ସେଟ୍‌ରେ ସେହି ଉପାଦାନ ରହିବେ ଯାହା $I_{16}$ ରେ ଅଛି କିନ୍ତୁ $I_{20}$ ରେ ନାହିଁ
ଯେହେତୁ $I_{16}$ ର ସମସ୍ତ ଉପାଦାନ $I_{20}$ ରେ ଅଛି ଏହା ଏକ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ହେବ
ତେଣୁ $I_{16} - I_{20} = \phi$

💡 ସୂତ୍ର: ଯଦି ସେଟ୍ $A \subset B$ ହୁଏ ତେବେ $A - B = \phi$