ପୃଷ୍ଠା ୧୬ ଏବଂ ୧୭ ରେ ଥିବା 'ନିଜେ କରି ଦେଖ' ବିଭାଗର ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସମାଧାନ ଏଠାରେ ଦିଆଗଲା।

🔢 1. 27000 ଓ 10648 ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର

👉  $27000$ ର ଘନମୂଳ: $27000 = 27 \times 1000$ $$

$=3^3\times {10}^3$

$= 3^3 \times 10^3 = (3 \times 10)^3 = 30^3$ $\therefore \sqrt[3]{27000} = 30$

👉 $10648$ ର ଘନମୂଳ: $10648 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11$ $$

$=2^3\times {11}^3=(2\times 11{)}^3$

$= 2^3 \times 11^3 = (2 \times 11)^3 = 22^3$ $\therefore \sqrt[3]{10648} = 22$

❓ 2 . କେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା $1323$ କୁ ଗୁଣନକଲେ ଗୁଣଫଳ ଗୋଟିଏ ଘନସଂଖ୍ୟା ହେବ?

ସମାଧାନ: ପ୍ରଥମେ $1323$ ର ମୌଳିକ ଉତ୍ପାଦକ ବାହାର କରିବା: $\mathrm{}$

$1323 = 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7 = 3^3 \times 7^2$ 

    ଏଠାରେ $3$ ର ଏକ ତ୍ରିରାଶି ବା ଯୁଗ୍ମ (triplet) ଅଛି, କିନ୍ତୁ $7$ ର କେବଳ ଦୁଇଟି ଗୁଣନୀୟକ ($7^2$) ଅଛି।

    ଏହାକୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ ଆଉ ଏକ $7$ ଆବଶ୍ୟକ।

   🎯 ଉତ୍ତର: $7$

✅ ୩. ଭୁଲ୍ ($\times$) କି ଠିକ୍ ($\checkmark$) ଦର୍ଶାଅ:

(i) ଯେ କୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା।

👉❌ ଭୁଲ୍: କାରଣ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସବୁବେଳେ ଅଯୁଗ୍ମ ହୁଏ (ଯଥା: $3^3 = 27$)।

(ii) ଏପରି କୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ନାହିଁ, ଯାହାର ଶେଷ ଅଙ୍କ $8$ ହେବ।

👉❌ ଭୁଲ୍: କାରଣ $2$ ର ଘନ ହେଉଛି $8$ ($2^3 = 8$)।

(iii) ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ, ତିନି ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇପାରେ।

👉 ❌ ଭୁଲ୍: କାରଣ ସବୁଠାରୁ ଛୋଟ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା $10$ ର ଘନ ହେଉଛି $1000$, ଯାହା $4$ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ।

(iv) ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସାତ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ହୋଇପାରେ।

👉❌ ଭୁଲ୍: କାରଣ ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଦୁଇ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା $99$ ର ଘନ $970,299$, ଯାହା $6$ ଅଙ୍କ ବିଶିଷ୍ଟ।

(v) ଘନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟକ ଗୁଣନୀୟକ ଥାଏ।

👉 ❌ ଭୁଲ୍: ଏହା କେବଳ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସତ। ଘନ ସଂଖ୍ୟା (ଯଥା $8$) ର ଗୁଣନୀୟକ ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ ହୋଇପାରେ।

💡 4. ମନେକର $1331$ ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣଘନ ସଂଖ୍ୟା। ଉତ୍ପାଦକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ନକରି ତୁମେ ଏହାର ଘନମୂଳ ଅନୁମାନ କରିପାରିବ କି? ସେହିପରି $4913$, $12167$ ଓ $32768$ ର ଘନମୂଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

$1331$ ର ଘନମୂଳ: ଭାଗ: $(1)$ ଏବଂ $(331)$। ଶେଷ ଅଙ୍କ $1$ ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ $1$ ହେବ। ବାକି ଅଙ୍କ $1$ ପାଇଁ ଦଶକ ଅଙ୍କ $1$। ଉତ୍ତର: $11$

$4913$ ର ଘନମୂଳ: ଭାଗ: $(4)$ ଏବଂ $(913)$। ଶେଷ ଅଙ୍କ $3$ ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ $7$ ହେବ। ବାକି ଅଙ୍କ $4$ ପାଇଁ ଦଶକ ଅଙ୍କ $1$ (କାରଣ $1^3$ ର ମୂଲ୍ୟ $4$ ରୁ ଛୋଟ)। ଉତ୍ତର: $17$

$12167$ ର ଘନମୂଳ: ଭାଗ: $(12)$ ଏବଂ $(167)$। ଶେଷ ଅଙ୍କ $7$ ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ $3$ ହେବ। ବାକି ଅଙ୍କ $12$ ପାଇଁ ଦଶକ ଅଙ୍କ $2$ (କାରଣ $2^3 = 8$ ଏବଂ $3^3 = 27$)। ଉତ୍ତର: $23$

$32768$ ର ଘନମୂଳ: ଭାଗ: $(32)$ ଏବଂ $(768)$। ଶେଷ ଅଙ୍କ $8$ ହେଲେ ଏକକ ଅଙ୍କ $2$ ହେବ। ବାକି ଅଙ୍କ $32$ ପାଇଁ ଦଶକ ଅଙ୍କ $3$ (କାରଣ $3^3 = 27$ ଏବଂ $4^3 = 64$)। ଉତ୍ତର: $32$