ପୃଷ୍ଠା ୨୩ ରୁ ୨୮ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ପ୍ରମୁଖ ବିଷୟବସ୍ତୁ, ନୋଟ୍ସ (Notes), ଏବଂ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ (ସୂତ୍ର ସହିତ) ସୁନ୍ଦର ଭାବରେ ତଳେ ଦିଆଗଲା:

📝 ଘନ ଏବଂ ଘନମୂଳ (Cubes and Cube Roots)

୧. ଘନ ସଂଖ୍ୟା (Cubic Numbers): ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ସହିତ କ୍ରମାଗତ ଭାବରେ ତିନିଥର ଗୁଣନ କଲେ ଯେଉଁ ଗୁଣଫଳ ମିଳେ, ତାହାକୁ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ଘନ (Cube) କୁହାଯାଏ।

• ସୂତ୍ର (Formula): ଯଦି $n$ ଏକ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ $n$ ର ଘନ = $n \times n \times n = n^{3}$

ଉଦାହରଣ:

• $1$ ର ଘନ = $1^{3} = 1 \times 1 \times 1 = 1$
• $2$ ର ଘନ = $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
• $3$ ର ଘନ = $3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$
• $4$ ର ଘନ = $4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 64$
• $5$ ର ଘନ = $5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$

(1 ରୁ 20 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଘନ ସଂଖ୍ୟାର ସାରଣୀ)

୨. ଘନ ସଂଖ୍ୟାର ବିଶେଷତ୍ୱ:

• ଯେକୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସର୍ବଦା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ। (ଉଦାହରଣ: $2^3=8$, $4^3=64$)
• ଯେକୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସର୍ବଦା ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ଅଟେ। (ଉଦାହରଣ: $3^3=27$, $5^3=125$)
• ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଦଶମିକ ସଂଖ୍ୟାର ମଧ୍ୟ ଘନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରିବ। (ଉଦାହରଣ: $(\frac{4}{6})^{3} = \frac{64}{216}$)
• ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାର ଘନ ସର୍ବଦା ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ। (ଉଦାହରଣ: $(-6)^3 = -216$)

୩. ପୂର୍ଣ୍ଣ ଘନ ସଂଖ୍ୟା ଓ କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା: କ୍ରମିକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ରୂପେ ଘନ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ।

• $1 = 1^3$
• $3 + 5 = 8 = 2^3$
• $7 + 9 + 11 = 27 = 3^3$
• $13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3$
• $21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5^3$

୪. ଘନମୂଳ (Cube Roots): ଯଦି $y = x^{3}$ ହୁଏ, ତେବେ '$x$' କୁ '$y$' ର ଘନମୂଳ କୁହାଯାଏ। ଏହାକୁ $\sqrt[3]{y}$ ସଙ୍କେତ ଦ୍ୱାରା ଲେଖାଯାଏ।

• ସୂତ୍ର (Formula): $\sqrt[3]{n^3} = n$
• ଉଦାହରଣ: $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$

୫. ହାର୍ଡି-ରାମାନୁଜନ ସଂଖ୍ୟା (ଟାକ୍ସିକ୍ୟାବ୍ ସଂଖ୍ୟା): 1729 ହେଉଛି ସେହି ସର୍ବନିମ୍ନ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକୁ ଦୁଇଟି ଘନର ଯୋଗଫଳ ଭାବେ ଦୁଇ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ।

• $1729 = 1^3 + 12^3$
• $1729 = 9^3 + 10^3$

📝 ନୋଟ୍ସ: ଘାତର ଖେଳ (Power Play)

୧. ଘାତାଙ୍କୀୟ ସଂକେତ (Exponential Notation): ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟାକୁ ବାରମ୍ବାର ଗୁଣନ କଲେ, ତାହାକୁ ଘାତ ଆକାରରେ ଲେଖାଯାଏ। ଯଦି ଆମେ '$n$' କୁ '$a$' ଥର ଗୁଣନ କରୁ, ତେବେ ଆମେ ଲେଖୁ:

• $n \times n \times n \times ... \text{(a ଥର)} = n^a$
• ଏଠାରେ '$n$' ହେଉଛି ଆଧାର (Base) ଏବଂ '$a$' ହେଉଛି ଘାତ କିମ୍ବା ଘାତାଙ୍କ (Exponent)।
• ଉଦାହରଣ: $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4$ (ଏଠାରେ ଆଧାର 5, ଘାତାଙ୍କ 4)। ଏହାକୁ "5 ର ଚତୁର୍ଥ ଘାତ" ପଢ଼ାଯାଏ।

୨. ଘାତାଙ୍କର ଗୁଣନ ନିୟମ (Laws of Exponents for Multiplication):

• ସମାନ ଆଧାର ଥିଲେ: ଯଦି ଆଧାର ସମାନ ଥାଏ, ତେବେ ଗୁଣନ ବେଳେ ଘାତଗୁଡ଼ିକ ଯୋଗ ହୋଇଯାଏ।
  • ସୂତ୍ର (Formula): $n^a \times n^b = n^{a+b}$
  • ଉଦାହରଣ: $p^4 \times p^6 = p^{4+6} = p^{10}$
• ଘାତର ଘାତ ଥିଲେ: ଯଦି ଗୋଟିଏ ଘାତ ଉପରେ ଆଉ ଏକ ଘାତ ଥାଏ, ତେବେ ସେହି ଦୁଇଟି ଘାତ ଗୁଣନ ହୋଇଯାଏ।
  • ସୂତ୍ର (Formula): $(n^a)^b = n^{a \times b} = n^{ab}$
  • ଉଦାହରଣ: $(4^3)^2 = 4^{3 \times 2} = 4^6$
• ସମାନ ଘାତ ଏବଂ ଭିନ୍ନ ଆଧାର ଥିଲେ:
  • ସୂତ୍ର (Formula): $m^a \times n^a = (m \times n)^a$
  • ଉଦାହରଣ: $3^4 \times 2^4 = (3 \times 2)^4 = 6^4$